|
PresentationsДинамика модели хищник-жертва с квадратичной зависимостью скорости смертности хищниковМГТУ им. Н.Э. Баумана, РФ, 105005, Москва, ул.2-я Бауманская, д.5, 89853095035, shestakovrd@student.bmstu.ru МГТУ им. Н.Э. Баумана, РФ, 105005, Москва, ул.2-я Бауманская, д.5, 84992636633, apkri@bmstu.ru, yapkri@yandex.ru Рассматривается система [1] с переменными $(x, y, z)\in\mathbb{R}_{+,0}^3$, соответствующими плотностям популяций подрастающих жертв, взрослых жертв и хищников. Все параметры принимаются положительными; дополнительно, $c_1 < c$. Доказано существование нулевого положения равновесия, найдены условия существования внутренних положений равновесия. Исследовано поведение системы на инвариантной координатной плоскости $S = \{z = 0\} \cap \mathbb{R}^{3}_{+,0}$, доказана положительная инвариантность множества $\mathbb{R}_{+,0}^3$. Для частного случая $c = 0$, $c_1 = 0$ был применен метод локализации инвариантных компактов [2,3]: была построена итерационная последовательность локализирующих множеств, сходящаяся при выполнении условия $\delta \left(m + \mu\right) < r m$ к множеству $\Omega = \{0 \leq x \leq \alpha_*, \ 0 \leq y \leq \beta_*, \ 0 \leq z \leq \gamma_*\}$, где $\alpha_* = k \left(1 - \cfrac{ \delta \left(m + \mu\right)}{r m}\right)$, $\beta_* = k \left(\cfrac{m}{\delta} - \cfrac{ m + \mu}{r }\right)$, $\gamma_* = \cfrac{a_1 \beta_*}{\nu \left(d_1 + \beta_*\right)}$, и к нулевому положению равновесия в противном случае. С применением расширенных локализирующих множеств [3] доказано, что любое решение системы является ограниченным, продолжается на неограниченный вправо интервал времени и стремится к своему $\omega$-предельному множеству, что означает существование аттрактора. На основании этого получены условия асимптотической устойчивости в целом для нулевого положения равновесия. Рассмотрены численные примеры для различных значений параметров, построены фазовые портреты системы для случаев с одним, тремя и пятью положениями равновесия. 1. E. M. Takyi, K. Cooper, A. Dreher, C. McCrorey The (De)Stabilizing effect of juvenile prey cannibalism in a stage-structured model. // Mathematical Biosciences and Engineering, 2023. Стр 3355-3378. 2. А.П. Крищенко Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференц. уравнения, 2005. Стр 1597–1604. 3. А.П. Крищенко Итерационные последовательнрости метода локализации // Дифференц. уравнения, 2024. Стр 1460-1470.
|
