|
ДокладыКонгармонические аналоги тождеств Грея нормальных lcACs-многообразийМосковский государственный строительный университет, Институт цифровых технологий и моделирования в строительстве, каф. прикладной математики, Россия, 129337, Москва, ш. Ярославское 26, корп. КМК, E-mail: aligadzhi@yandex.ru 1Оренбургский государственный университет, каф. геометрии и компьютерных наук, Россия, 460018, просп. Победы 13, E-mail: hcb@yandex.ru Одним из подклассов конформных преобразований являются конгармонические преобразования. Тензор \cite{Ishii}, инвариантный относительно конгармонических преобразований называется тензором конгармонической кривизны и имеет вид: $K(X,Y,Z,W)=R(X,Y,Z,W)-\frac{1}{2n-1}(g(X,W)S(Y,Z) -g(X,Z)S(Y,W)+g(Y,Z)S(X,W)+g(Y,W)S(X,Z)),$ где $R$ -- тензор римановой кривизны, $S$ -- тензор Риччи, $g$ -- риманова метрика.
\textbf{Теорема 1.} Нормальное $lcAC_S$-многообразие \cite{Olszak} является конгармонически плоским многообразием тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной $G$-структуры $A^{ad}_{bc}=0$ и $\sigma_{00}=-\left(n+\frac{1}{2}\right)\sigma_0^2$.
Теорема 2. Конгармонически плоское нормальное $lcAC_S$-многообразие постоянной кривизны является плоским косимплектическим многообразием, т.е. локально эквивалентно произведению плоского Келерова многообразия на вещественную прямую.
Почти контактное метрическое многообразие будем называть многообразием класса $CK_i$ ($i=1,2,3$), если для компонент его тензора конгармонической кривизны верно соответствующее тождество: $1) \ g(K(\Phi X,\Phi Y)\Phi Z,\Phi W)=g(K(\Phi^2X,\Phi^2Y)\Phi Z,\Phi W),$
$2) \ g(K(\Phi X, \Phi Y)\Phi Z,\Phi W)=g(K(\Phi^2X,\Phi^2Y)\Phi Z,\Phi W) +g(K(\Phi^2X,\Phi Y)\Phi^2Z,\Phi W)+g(K(\Phi^2X,\Phi Y)\Phi Z, \Phi^2W),$
$3) \ g(K(\Phi X,\Phi Y)\Phi Z,\Phi W)=g(K(\Phi^2X,\Phi^2Y)\Phi^2Z,\Phi^2W), \ X,Y,Z,W\in X(M).$
Теорема 3. Нормальное $lcAC_S$-многообразие является многообразием классов $CK_2$ и $CK_3$.
Теорема 4. Нормальное $lcAC_S$-многообразие является многообразием класса $CK_1$ тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной $G$-структуры $A_{ae}^{be}=\delta^b_a\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\sigma_0^2+\sigma_{00}\right)$.
\begin{thebibliography}{100} \bibitem{Olszak} \textit{Z.Olszak.} Locally conformal almost cosymplectic manifolds// \textit{Colloq. math.} \textbf{57}, 1, 1989. Стр. 73-87.
\bibitem{Ishii} \textit{Y.Ishii.} On conharmonic transformations// \textit{Tensor.} \textbf{7}, 2, 1957. Стр. 73-80.
\end{thebibliography}
Материалы доклада |
