Доклады

Параллельный алгоритм вычисления функции Вигнера для квантовой системы с полиномиальным потенциалом

Перепелкин Е.Е., Полякова Р.В., Садовников Б.И., Иноземцева Н.Г., Бурлаков Е.В., Сысоев П.Н., Садовникова М.Б.

Лит оияи

При рассмотрении квантовых систем в фазовом пространстве используется функция Вигнера как функция квази-плотности вероятностей. Нахождение функции Вигнера связано с вычислением преобразования Фурье от некоторой композиции волновых функций соответствующей квантовой системы. Как правило, знание функции Вигнера не является конечной целью, и требуется произвести вычисления средних значений различных квантовых характеристик системы. Явное решение уравнения Шрёдингера удается получить только для узкого класса потенциалов, поэтому в большинстве случаев приходится использовать численные методы для нахождения волновых функций. В результате нахождение функции Вигнера связано с численным интегрированием сеточных волновых функций. При рассмотрении одномерной системы требуется вычисление N2 интегралов Фурье от сеточной волновой функции. Чтобы обеспечить необходимую точность для волновых функций, соответствующих высшим состояниям квантовой системы, требуется большее число узлов сетки.

В работе рассмотрено построение параллельного алгоритма на вычислительной архитектуре GPU нахождения функции Вигнера квантовой системы с полиномиальным потенциалом. Описан численно-аналитический метод построения функции Вигнера, основанный на вычислении следа произведения матрицы плотности и матрицы оператора Вейля. Представление операторов выполнено в базисе квантового гармонического осциллятора, для которого уравнение Моэля переходит в уравнение Лиувилля. Такой подход позволяет наглядно анализировать степень ангармоничности системы по недиагональным элементам матрицы плотности. Параллельная реализация на массивно-параллельной архитектуре GPU позволила уменьшить время вычисления на два порядка в сравнении с однопоточной версией на x86 архитектуре.

Приведены результаты, полученые в рамках единого рассмотрения классических и квантовых систем в обобщенном фазовом пространстве на основе бесконечной самозацепляющейся цепочки уравнений Власова. Важным является то, что используя аппарат квантовой механики в фазовом пространстве, можно производить оценку необходимых параметров квантовых систем, а предлагаемые численные методы позволяют производить такие вычисления эффективно. Наличие точных решений модельных нелинейных систем играет важную роль при проектировании сложных физических установок, например, таких как детектор SPD проекта NICA. Такие решения используются как тесты при написании программного кода, а также могут быть инкапсулированы в конечноразностные схемы при численном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений. Предложенный эффективный численный алгоритм можно использовать при решении уравнения Шрёдингера и задачи магнитостатики в области с негладкой границей.

• тезисы на английском языке (PDF)