|
Архив публикацийТезисыXXI-ая конференцияНахождение закрытого выражения коэффициентов степени полинома по критерию минимума суммТУСУР, Россия, 634050, Томск, пр. Ленина 40, kru@2i.tusur.ru 1 стр. (принято к публикации)Полиномы являются важным объектом исследования в математике. В данной работе будут рассмотрены степени полиномов, которые необходимы при решении функциональных уравнений и нахождении закрытых выражений коэффициентов композиции производящих функций~\cite{MCE}. Далее рассматривается задача нахождения закрытого выражения коэффициентов $k$-ой степени полинома при условии минимума числа сумм в полученном выражении.
Введём ряд обозначений: $A_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k x^k$ --- полином; $\bigl[A_n(x)\bigr]^{k}=\sum\limits_{n\geq k} A^{\Delta}(n,k) x^n$~--- $k$-ая степень полинома $A_n(x)$; $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)$ --- целое число, обозначающее количество сумм в закрытом выражении коэффициентов $A^{\Delta}(n,k)$ $k$-ой степени полинома; $D\bigl(A_n(x): B_p(x),G_l(x),\dots,F_r(x)\bigr)$~--- множество всех декомпозиций полинома $A_n(x)$, где $B_p(x),G_l(x),F_r(x)$ --- полиномы порядка $p$, $l$ и $r$ соответственно.
Теперь можно формализовать критерий данной задачи: $\mu\bigl(A_n(x)\bigr)\to \min$ на множестве $D\bigl(A_n(x)\bigr)$. Используя операции сложения, умножения и композиции производящих функций~\cite{Kru}, а также алгоритм получения степени полинома, можем оценить $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)$: \begin{enumerate} \item $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=\mu\bigl((ax+bx^2)^{k}\bigl)=0$. \item $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=n-2$ (алгоритм получения степени полинома~\cite{Kru}). \item $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=\mu\bigl(B_p(x)+G_l(x)\bigl)=2+\mu\bigl(B_p(x)\bigl)+\mu\bigl(G_l(x)\bigl)$. \item $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=\mu\bigl(B_p(x)\cdot G_l(x)\bigl)=1+\mu\bigl(B_p(x)\bigl)+\mu\bigl(G_l(x)\bigl)$. \item $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=\mu\left(B_p\bigl(G_l(x)\bigr)\right)=1+\mu\bigl(B_p(x)\bigl)+\mu\bigl(G_l(x)\bigl)$. \end{enumerate}
Для случая (1) закрытое выражение коэффициентов имеет вид ${k \choose n-k} a^{2\,k-n}b^{\,n-k}$, откуда $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=0$. Для случая (2) --- $\mu\bigl(A_n(x)\bigl)=n-2$. Применение случаев (3--5) позволит получить $\mu$ в границах $0\leq \mu\bigl(A_n(x)\bigl)\leq n-2$. В докладе будут рассмотрены примеры.
\begin{thebibliography}{2} \bibitem{MCE} \textit{Кручинин В.В., Перминова М.Ю.} Метод получения выражений коэффициентов композиции производящих функций // Тезисы докладов. Двадцатая международная конференция >, 2013. Стр. 106. \bibitem{Kru} \textit{Кручинин В.В.}, \textit{Кручинин Д.В.} Степени производящих функций и их применение. --- Томск : изд-во ТУСУР, 2013. 236 стр. \end{thebibliography} |
