|
ДокладыКвазиклассические спектральные серии нелокального уравнения Гросса-Питаевского на кривойТомский политехнический университет, Россия, 634034, Томск, пр. Ленина 30, aek8@tpu.ru 1Томский государственный университет, Россия, 634050, Томск, пл. Новособорная 1, shpv@phys.tsu.ru Рассматривается метод построения асимптотических решений спектральной задачи для нелокального уравнения Гросса-Питаевского, сосредоточенных на кривой в фазовом пространстве. Предлагаемый подход является обобщением метода построения квазиклассических решений задачи Коши для нелокального уравнения Гросса-Питаевского [1], основанного на идеях метода комплексного ростка Маслова [2]. Суть нашего подхода заключается в следующем. Мы ищем решения задачи Коши, не зависящие от времени. Как и в [1], квазиклассические решения задачи Коши ищутся в расширенном за счет параметра кривой пространстве в специальном классе функций. При этом в расширенном пространстве поиск не зависящих от времени асимптотических решений сводится к поиску периодических решений, обладающих специальным типом автомодельной симметрии. Предлагается конструктивный метод поиска таких решений, который сводит рассматриваемую задачу к поиску периодических решений интегро-дифференциальной системы Гамильтона-Эренфеста второго порядка и решений Флоке системы обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемой системой в вариациях). Представлен пример физически осмысленной задачи, для которой асимптотические решения, сосредоточенные на окружности, удается построить полностью в аналитическом виде. Приводятся сами решения в явном виде и квантованные значения энергии.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Томской области в рамках научного проекта № 19-41-700004.
Литература 1. Shapovalov A.V., Kulagin A.E., Trifonov A.Yu. The Gross-Pitaevskii equation with a nonlocal interaction in a semiclassical approximation on a curve // Symmetry Vol. 12, Issue 2, 2020, paper 201. 2. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. – М: Наука, 1977.
|
