|
Conference publicationsAbstractsXXII conferenceQualitative analysis of nonlinear dynamics in 2D and 3D A.N.Kolmogorov problems for incompressible viscous fluid flow1 Institute for System Analysis, Russian Academy of Science. Lab.11-3 ''Chaotic dynamical systems'', senior staff scientist. 117312, Moscow, 60-letiya Oktyabrya prospekt, 9. 8(495)998-7683, evstigneevnm@yandex.ru 12 Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Dep. ''General problems of control'', associate professor, MSU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Russia, 119991, Moscow, GSP-1, 1 Leninskiye Gory, Main Building, 8(495)939-5632, DASilaev@mail.ru Работа посвящена качественному исследованию ламинарно-турбулентного перехода. Ставится начально-краевая задача А.Н. Колмогорова для уравнений Навье-Стокса на двумерном и трехмерном торе. Проводится краткий анализ литературы и показываются найденные ранее механизмы усложнения решений с увеличением числа Рейнольдса. Делается предположение, что усложнение решения может быть описано системой бифуркаций стационарных и нестационарных решений. Для численного решения используется два метода: псевдо--спектральный метод и метод Галеркина. В качестве базисных функций используются S-сплайны, разработанные Д.А.Силаевым. Данные сплайны обладают заданной степенью гладкости и высоким порядком аппроксимации (используются сплайны класса $C_2$, девятой степени).Для двумерной задачи доказывается эквивалентность постановки в формулировке ''функция тока-завихренность'', сходимость метода Галеркина и показываются критерии устойчивости. Кратко приводятся сопоставления с результатами других авторов, а также с псевдо--спектральным методом. Для трехмерной постановки показывается сходимость метода Петрова-Галеркина, в котором базисные функции являются S-сплайнами, а тестовые функции выбираются из полиномов Якоби. Для двумерной задачи проводится бифуркационный анализ. С увеличением числа Рейнольдса для двухмерной задачи было найдены следующие бифуркации: $PF \to C \to T \to T 2 \to ... \to T3 \times 2 \to ... \to T7 \to T5 \to T3 \to Ch.$ Где: $PF$ - бифуркация вилки, $C$ - цикл (бифуркация Андронова-Хопфа), $T$ - тор (бифуркация Андронова-Хопфа); $\times 2$ - удвоение периода (каскад Фейгенбаума); $Tn$ - тор периода $n$; $Ch$ - хаос. Таким образом, полностью найден каскад Шарковского, что раньше не было найдено. Как известно, после тора периода три ($T3$), наступает хаос. Для трехмерной задачи показаны результаты решения, проводится сопоставление с аналитическим двумерным решением в квазидвумерной постановке. Показывается наличие бифуркаций типа вилки.
|
