|
Архив публикацийТезисыXXIII-ая конференцияВозмущение линейной гиперболической системы, обладающей свойством сверхустойчивостиНовосибирск, 630090, проспект академика Коптюга, д.4 1 стр. (принято к публикации)В работе автора \cite{lul} исследовалась относительно неизвестной вектор-функции $U=(u_1,...,u_n)^T$ в полосе $\Pi=[0,1]\times (0,\infty)$ смешанная задача для гиперболической системы \begin{equation} \label{eq:luleq1} U_t= AU, \quad U(x,0)=U_0(x). \end{equation} Здесь $AU=-K(x)U_x+B(x)U$, где $K(x)$ -диагональная матрица с отличными друг от друга элементами $k_i(x)>0$, $(i=1,..,p)$, $k_i(x)0$ такое, что по любым начальным данным $U_0\in L_2(0,1)$ решение $U(x,t)$ рассматриваемой задачи тождественно равно нулю при $t>T$.
В настоящей работе рассматривается возмущенная задача ~\eqref{eq:luleq1}, ~\eqref{eq:luleq2} c оператором $AU=-K(x)U_x+(B(x)+C(x,t))U$, где $C(x,t)$- произвольная матрица с нулевыми диагональными элементами. Справедлива
\textit{Теорема. }Пусть невозмущенная задача ~\eqref{eq:luleq1}, ~\eqref{eq:luleq2} обладает свойством сверхустойчивости, тогда
- для любой матрицы $C(x,t)$ возмущенная задача обладает свойством повышения гладкости решений, т.е. по любым начальным данным $U_0\in L_2(0,1)$ решение $U(x,t)$ рассматриваемой задачи при $t>T$ будет непрерывной функцией;
- для любого $\gamma>0$ найдется $\varepsilon>0$ такое, что для любой матрицы $C(x,t): ||C(x,t)||_{C(\Pi)}0$ такая, что для решения $U(x,t)$ справедливы оценки $$ ||U(x,t)||_{L_2(0,1)}\le M e^{-\gamma t}||U_0||_{L_2(0,1)}, t\ge0, \qquad ||U(x,t)||_{C[0,1]}\le M e^{-\gamma t}||U_0||_{L_2(0,1)}, \, t> T . $$
\begin{thebibliography}{100} \bibitem{lul} \textit{Елтышева Н.А.} О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости// \textit{Матем. сборник} \textbf{135}, 2, 1988. С.186-209. \bibitem{lul1} \textit{D.Creutz, M.Mazo,Jr. and C.Preda.} Superstability and finite time extriction for $C_0$-semigroups // arXiv:0907/4812v4[math.FA] 24 sep 2013, p.12. \end{thebibliography}
|
