Presentations

Pade Approximants application in asymptotic methods for solving boundary value problems of mathematical physics

Shatrov A.V.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, 29, Politehnicheskaya str., St. Petersburg, 195251

Чуть более 60 лет тому назад М. Крускал ввел понятие Асимптотология. В своей работе [1] он изложил 7 принципов использования асимптотических методов в прикладной математике. Одним из принципов асимптотических методов решения краевых задач является гипотеза о существовании асимптотик для двух предельных значений параметра: если для существует нетривиальная асимптотика, то можно построить и асимптотику для . Но в результате возникает проблема для асимптотических методов – построение решений, приемлемых в области . Для этого используются различные подходы. Наиболее распространенным является метод сращиваемых асимптотических разложений (Matсhing method [2]). При этом оперируют понятиями внутренней и внешней асимптотик, действующих в областях соответственно. Однако для корректного применения метода сращивания необходимо знать точку сращивания или, по крайней мере, область перекрытия асимптотик. Точное описание всего переходного слоя существует лишь в тех случаях, когда имеются специальные функции типа функции Эйри, связывающие в один узел разное поведение решений по обе стороны слоя. Для соединения неперекрывающихся асимптотик разработаны методы, опирающийся на двухточечные аппроксимации Паде (TPPA) [3]. В последнее время появилось много работ по использованию TPPA в краевых задачах гидродинамики. Однако в некоторых публикациях некорректно используется методика применения аппроксимации Паде. В частности, в работах [4,5] производится редукция краевой задачи Блазиуса к задаче Коши с последующим использованием для решения одноточечной аппроксимации Паде. Авторы используют асимптотику сингулярной области для аналитического продолжения с помощью одноточечной аппроксимации Паде, не учитывая того факта, что внутренняя асимптотика является степенной при разложении по малому параметру автомодельной переменной , а внешняя асимптотика имеет экспоненциальную зависимость от . Если не учитывать принципиального различия асимптотических разложений, то в регулярной области неизбежно наблюдается накопление ошибки решения, несмотря на то что при редукции краевой задачи авторы дополняют условия задачи Коши соотношением, обеспечивающим выполнение внешнего условия уравнения Блазиуса.

Литература

1. Kruskal M. Asymptotology. Math. Models in Phys. Sci. N-J., 1963. Pp.17-48.

2. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М: Мир, 1967, 310 с.

3. Andrianov I.V. Application of Pade Approximants in Perturbation Methods. // Advances in Mechs., 14, 2, 1991. Pp.3-15.

4. Albarakati W.A., Ahmad F. Application of Pade Approximation to Solve the Blasius Problem. Proc. Pakistan Acad. Sci. 44, 2, 2007. Pp. 17-20

5. Asaithambi A. On the Use Recursive Evalution of Derivaties and Pade Approximation to Solve Blasius Problem. J. of Computational Methods in Physics Vol. 2016, Article ID 3698251, 5 pages http://dx.doi.org/10.1155/2016/3698251

• abstract in Russian (PDF)