Conference publications

Abstracts

XV conference

Качественный анализ нелинейных динамических моделей экономики

Губарева Е.А., Паршикова Г.Ю.

Государственный университет упрвления. Кафедра высшей математики. Россия, 109542, г.Москва, Рязанский проспект, д.99

Применение метода биологической аналогии [1] в социологии и экономике связано с тем, что существуют социально-экономические и биологические процессы развития, которые формально описываются одни и теми же нелинейными математическими моделями. Например, механизм конкуренции популяций, описанный в модели динамики биоценоза [1], можно обнаружить в экономике – частные фирмы конкурируют с государственными предприятиями. Нелинейная модель В.Вольтера «хищник-жертва» [1] может быть использована при анализе цикличности динамики цен.

Основная задача исследования этих динамических систем состоит в том, чтобы описать качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории, на основании которой можно строить интегральные кривые и исследовать развитие системы в зависимости от начальных условий. Для получения качественной картины, достаточно знать поведение особых фазовых кривых, к которым относятся: положения равновесия, предельные циклы, и незамкнутые кривые, у которых хотя бы одна полутраектория является сепаратрисой.

Локальная задача качественной теории дифференциальных уравнений - исследование окрестности положения равновесия системы - может быть решена по первому приближению правой части в окрестности точки равновесия. Для рассматриваемых моделей, используя метод изоклин и первый интеграл системы, удается решить и глобальную задачу – установить поведение фазовых кривых системы на всей фазовой плоскости или установить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории.

Так фазовые траектории системы в классической модели «хищник-жертва» образуют множество непересекающихся замкнутых линий, содержащих внутри себя стационарную точку. В модели, описывающей внутривидовую конкуренцию жертвы и насыщение хищника, стационарная точка является фокусом, который может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от параметров системы.

Литература.

1. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. -М.: ИЗОГРАФ, 1997, 223стр.

• view as PDF