![]() ![]() |
Conference publicationsAbstractsXIX conferenceНекоторые свойства куба в бесконечномерном гильбертовом пространстве192284, Санкт-Петербург, ул. Будапештская 88-3-248. 1 pp. (accepted)Проработка аксиоматики и непротиворечивости теории множеств принадлежит П. Коэну: им получены некоторые общие доказательства непротиворечивости некоторых аксиоматик теории множеств [1]. В то же время, в данном разделе математики существует немало парадоксов, и их источником является теорема Кантора. Одним из примеров таких парадоксов может служить существование неизмеримых множеств [2]. А так как, по оценке академика Ю.В. Матиясевича, из теории множеств выводится 99,9% всех теорем современной математики, эти парадоксы могут иметь слабо предсказуемые следствия в различных областях математической науки. Попытки показать некорректность доказательства теоремы Кантора через демонстрацию некорректности переноса метода справедливого для конечной матрицы на бесконечную матрицу, или через иные логические «ошибки» [3] не нашли поддержки. В целом, все попытки доказательства несостоятельности построения несчётного множества используемого в данной теореме, сводились к попытке прямого указания на не очевидные логические ошибки. Поэтому, пример прямого и очевидного противоречия, основанного на применении теоремы Кантора или прямых следствий из неё в рамках аксиоматики теории ZF (в частности ZF+AC) будет более показательным. Одно из таких фундаментальных противоречий может быть продемонстрировано на следующем примере. Рассмотрим бесконечномерный куб с единичной стороной в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Обозначим координаты его вершин множеством {A}. Элементы {A} представляют собой все возможные произвольные бесконечные наборы нулей и единиц, т.о. оно представляет собой несчётное множество в соответствии с теоремой Кантора. В тоже время множество его вершин является подмножеством множества {B} = Nn (где n → ∞, т.е. счётного топологического произведения счётных множеств), и, {A}, как собственное подмножество {B}, по мощности не может превосходить {B}. Множество Кантора также может быть представлено через бесконечномерный куб, со стороной 2, тогда множество бесконечных наборов нулей и двоек будет выражать множество точек множества Кантора в троичной системе исчисления.
Литература 1. Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза. – Либроком, 2010 г. 2. Шилов Г. Е., Математический анализ. Специальный курс. М.: Наука, 1965 г., 161 стр. 3. Зенкин А.А., Ошибка Георга Кантора //Вопросы философии, номер 2, 2000, Стр. 165-168.
|