English
!

Доклады

Возмущения волнового уравнения, обладающего свойством стабилизации всех решений к нулю за конечное время

Люлько Н.А.

Новосибирский государственный университет, Институт Математики имени С.Л. Соболева СОРАН, Россия, 630090, г. Новосибирск, проспект акад. Коптюга, 4, Тел: 8-9231979374, E-mail: natlyl@mail.ru

В полуполосе $\Pi=(0,1)\times (0,\infty)$ рассматривается смешанная задача для волнового уравнения

\begin{equation}

\label{eq:lyl1}

u_{tt}-a^2u_{xx}=0, \qquad (x,t)\in \Pi,

\end{equation}

решение которого на боковых сторонах $\Pi$ удовлетворяет граничным условиям

\begin{equation}

\label{eq:lyl2}

u(0,t)= p(u_t+au_x)(0,t), \qquad(u_t+au_x)(1,t)=0 \qquad t>0,

\end{equation}

или

\begin{equation}

\label{eq:lyl3}

u(1,t)= q(u_t-au_x)(1,t), \qquad(u_t-au_x)(0,t)=0 \qquad t>0,

\end{equation}

и при $t=0$ удовлетворяет начальным данным

\begin{equation}

\label{eq:lyl4}

u(x,0)= u_0(x), \qquad u_t(x,0)=u_1(x), \qquad x\in[0,1].

\end{equation}

Здесь $a>0$. Доказано \cite{Lyl}, что для любых чисел $p,q$ все решения задач \eqref{eq:lyl1}, \eqref{eq:lyl2}, \eqref{eq:lyl4} и \eqref{eq:lyl1}, \eqref{eq:lyl3}, \eqref{eq:lyl4} по любым начальным данным становятся равными нулю за время $T=\dfrac{2}{a}$. В случае $p=0$ этот факт был отмечен в \cite{Bal}.

Наряду с \eqref{eq:lyl1} в \cite{Lyl} рассматривается возмущенное волновое уравнение

\begin{equation}

\label{eq:lyl5}

u_{tt}-a^2u_{xx}+c(x,t)u=0, \qquad (x,t)\in \Pi,

\end{equation}

с гладкой функцией $c(x,t)$, ограниченной в $\overline{\Pi}$ вместе со своими производными до второго порядка включительно. Доказано, что для любых начальных данных $u_0\in L_2(0,1)$, $u_1\in W_2^1(0,1)$ все решения задач \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl2}, \eqref{eq:lyl4} и \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl3}, \eqref{eq:lyl4} становятся при $T>\dfrac{4}{a}$ непрерывно дифференцируемыми. При условии, что величина $sup_{x,t\in \overline{\Pi}}(\sum_{0\le \alpha+\beta\le 2}|D^{\alpha,\beta}_{x,t}c(x,t)|)$ мала, доказано, что задачи \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl2}, \eqref{eq:lyl4} и \eqref{eq:lyl5}, \eqref{eq:lyl3}, \eqref{eq:lyl4} являются асимптотически устойчивыми в пространстве $L_2(0,1)$

\begin{thebibliography}{100}

\bibitem{Lyl} \textit{Kmit I.Y., Lyulko N.A.} Asymptotic behavior of solutions to perturbed superstable wave equations// \textit{J. Phys.: Conf. Series} \textbf{894}, 012056, 2017.

\bibitem{Bal} \textit{Balakrishnan A.V.} Superstability of systems// \textit{J. Appl. Math. and Comput.} \textbf{164}, \textbf{2}, 2005, p. 321-326.

\end{thebibliography}

© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533