|
Архив публикацийТезисыXIII-ая конференцияНовый метод решения дифференциальных уравнений с формализацией математических операций компьютераВычислительный центр им.А.А.Дородницына, Россия, 119991, Москва, ул. Вавилова 40, Тел.:(095)135-20-87, факс (095)135-61-59, E-mail: aristov@ccas.ru 1 стр.НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ФОРМАЛИЗАЦИЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ КОМПЬЮТЕРА
Аристов В.В., Строганов А.В.
Вычислительный центр им. А.А.Дородницына, Россия, 119991, Москва, ул.Вавилова 40, Тел.: (095)135-20-87, факс (095)135-61-59, E-mail: aristov@ccas.ru
Дифференциальные уравнения могут быть решены в общем случае лишь численно с помощью компьютера. При этом операции с числами достаточно просты и могут легко формализованы, что позволяет предложить полуаналитический подход. В компьютере используются ограниченная разрядная сетка, а также производится «переброс из разряда в соседний разряд» для сохранения представления числа в виде сходящегося степенного ряда (в двоичной системе в любом разряде число должно быть меньшее 2, в десятичной – меньше 10 и т.д.). В настоящей работе на основе руководящей аналогии с работой компьютера строится представление решения дифференциального уравнения в ряд по степеням шага по времени. Решается задача Коши для нелинейных уравнений. Записывается устойчивая, аппроксимирующая и, следовательно, сходящаяся конечно-разностная схема. Разностная схема рекуррентно связывает решение на определенном шаге сетки с решением на предыдущих шагах. Сокращение производимых операций происходит при исключении промежуточных слоев за счет сворачивания рекуррентных зависимостей между коэффициентами при степенях шага. По аналогии с представлением числа в компьютере используется ограниченное количество членов ряда; отбрасывание на каждом шаге остаточных членов не должно нарушать порядок точности данной разностной формулы. Поэтому решение представляется в виде отрезка сходящегося степенного ряда. Например, при квадратичной нелинейности достаточно удерживать члены до третьей степени по шагу при использовании разностной схемы первого порядка точности. В результате приходим к системе уравнений относительно коэффициентов ряда. Здесь также присутствуют величины чисел, перебрасываемых из разряда в ближайший разряд. Формализация процесс «переброса» требует определения целой (и дробной) части чисел, что вводит, по сути, генераторы псевдослучайных чисел. Это позволяет говорить о вероятностном подходе и получать средние по времени значения величин. Вероятности величин, управляющих «перебросом», зависят от значений коэффициентов ряда. По этим вероятностям можно определить значения приращения по времени (число шагов по времени), задающих требуемое приращение коэффициентов, т.е. фактически строить обратную к искомой функцию. В данном полуаналитическом подходе удается получить обозримое представления решения исходной задачи. В отдельных случаях удается построить аналитическое решение. Таким же способом изучаются нелинейные системы дифференциальных уравнений. |