English
!

Архив публикаций

Тезисы

XXIV-ая конференция

Дробно-рациональный поперечник

Царьков И.Г.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, кафедра математического анализа. Россия, 119889, г. Москва, Ленинские горы E-mail: tsar@mech.math.msu.su

1  стр. (принято к публикации)

Через $\Phi^k$ обозначим множество всех непрерывных монотонных функций $\omega:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}_+$: $\omega(0)=0$, для которых выполнено неравенство: $\omega(nt)\leqslant n^k\omega(t) $ для всех $n\in \mathbb{N}$ и $t\in \mathbb{R}_+.$ Для выпуклого тела $M\subset \mathbb{R}^m$, линейного нормированного пространства $Y$ и $\omega\in \Phi^k$ через $W^rH^\omega_k(M,Y)$ обозначим множество всех $r$-раз дифференцируемых по Фреше отображений $f:M\rightarrow Y,$ для которых $\omega_k(f^{(r)},t)\leqslant \omega(t)$ $(t\in \mathbb{R}_+)$. В качестве $M$ будем рассматривать шар $B^m_p=\{x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m\mid \sum_{k=1}^{m}|x_k|^p\leqslant 1\}$ $(p\in(1,+\infty))$. Через $\mathcal{R}_n(U,V)$ обозначим класс всех всех отображений вида $P/Q$,

где вектор-функция $P:M\rightarrow Y$ пробегает некоторое произвольное выпуклое множество $U$ размерности $\leqslant n$, а функция $Q:M\rightarrow \mathbb{R}$ пробегает некоторое произвольное выпуклое множество $V$ положительных функций. Положим $E_n(f,U,V):=\inf\limits_{\varphi\in \mathcal{R}_n(U,V)}\sup\limits_{t\in M}\|f(t)-\varphi(t)\|_Y$

и обозначим через $\mathrm{R}_n(W^rH^\omega_k(M,Y))$ -- дробно-рациональный поперечник, т.е. величину $\inf\limits_{U,V}\sup\{E_n(f,U,V)\mid f\in W^rH^\omega_k(M,Y)\}$.

\textbf{Теорема~1.} {\it Пусть $k\in \mathbb{N}$, $p\in (1,+\infty)$, $r\in \mathbb{Z}_+$. Тогда существуют

числа $C,C_1,C_2>0$ такие, что для любых $l,m,n\in \mathbb{N}$: $n\geqslant \left\{

\begin{array}{cc}

C^ml, &\mbox{ если }p\in (1,2]\\

C^mlm^{\frac{m(p-2)}{p}},& \mbox{ если } p\in [2,+\infty)\\

\end{array}\right.,$ пространства $Y$: $\dim Y=l$, $\omega\in \Phi^k$ верны неравенства:

$ C_1\theta^r\omega(\theta)\leqslant \mathrm{R}_n(W^rH^\omega_k(M,Y)))\leqslant C_2\theta^r\omega(\theta),$

где $\theta=m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}(n/l)^{-\frac{1}{m}}$.}

\smallskip~\\

{\textbf{Литература.}}\nopagebreak~\\

1. {\it Царьков~И.\,Г. } О продолжении и сглаживании векторнозначных функций//Изв. РАН. Сер. матем. 1995. Т.~59, \No~4, С.~187–220.~\\



© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533