English
!

Архив публикаций

Тезисы

XVIII-ая конференция

Использование дополнительной информации в задаче обращения усредняющих операторов

Граев М.И., Коганов А.В.

Россия, Москва, Нахимовский проспект, д.36, кор. 1, НИИСИ РАН

1  стр. (принято к публикации)

Классическая задача интегральной геометрии заключается в поиске такой системы подмножеств на пространстве с мерой, которая позволяет восстановить любую функцию, абсолютно суммируемую на этих подмножествах, по её интегралам . При этом находятся явные формулы обращения, которые восстанавливают функцию. Иногда на функции накладываются дополнительные ограничения, необходимые для применения этой формулы [1-2]. Новый класс формул обращения возник при переходе к пространствам с дискретной структурой типа графов и бесконечных решёток [3]. Связь дискретных и непрерывных моделей изложена в [4]. В данной работе исследуется ситуация, когда система подмножеств интегрирования функции не позволяет однозначно восстановить функцию по её интегралам. Решается двойственная задача интегральной геометрии: по заданному оператору усреднения определить максимальный класс функций, на котором возможно обращение этого оператора (резольвентный класс). Эти классы определяются не однозначно. Даётся полное описание таких классов в форме минимальной дополнительной информации, которую надо знать о функции. Исследуется возможность их конструктивного описания, и в случае конечной системы усреднения даются формулы обращения. Интересно, что даже для случая конечных пространств с атомарной мерой, в случае необратимости оператора усреднения на пространстве всех функций, теоретическое число резольвентных классов функций превышает континуум. Разумеется, число конструктивных классов в этом случае счётное. Максимальный резольвентный класс функций для оператора усреднения по системе множеств всегда может быть задан в форме )* и определяется произвольным отображением произвольного подпространства , дополнительного к ядру оператора , в это ядро. ; )* . На подпространстве оператор всегда обратим. Доказывается, что набор таких классов не зависит от выбора подпространства . Технически, задача сводится к построению специальных базисов в пространстве функций.

Литература.

1. Гельфанд И. М., Граев М. И. Виленкин Н. Я. Обобщенные функции, т. 5, Интегральная геометрия и связанные проблемы теории представлений. “Физматгиз”, М., 1962.

2. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. “Добросвет”, М., 2000, 208 с

3. Граев М. И., Коганов А. В. Алгоритмы восстановления функции через ее усреднения по подмножествам.// Программные продукты и системы, приложение к международному журналу «Проблемы теории и практики управления», №4, 2008, с. 33-38. (ISSN 0236-235X)

4. Коганов А. В. Интегральная геометрия на системах покрытий. // Математические исследования, НИИСИ РАН, сб. трудов под редакцией акад. В.Б.Бетелина, 2005, с. 197-230.

_______________

* Формулы можно увидеть в файле тезисов.



© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533