Архив публикаций

Тезисы

XVII-ая конференция

Симметрийные структуры полиполярной плоскости

Ракчеева Т.А.

Институт машиноведения РАН, Москва, Россия, E-mail: rta_ra@list.ru

Полиполярная система координат (СК) так же, как и традиционная полярная СК, характеризует точку плоскости двумя координатами: полярным радиусом r и полярным углом j, но имеет не один центр-полюс, а k полюсов (k ﷓ конечное число). Такое координирование обеспечивается семействами многофокусных лемнискат.

Подобно семейству концентрических окружностей однополярной СК, семейство изофокусных kf-лемнискат координирует расстояние до системы k фокусов, задавая метрическую (радиальную) координату r полиполярной лемнискатической СК. Семейства изопараметрических кривых r(x,y) = const и j(x,y) = const образуют два взаимно ортогональных семейства координатных кривых лемнискатической полиполярной плоскости.

Иерархические структуры фокусной системы порождают вложенные kfi-полиполярные плоскости для разных диапазонов радиальной компоненты.

Фокусное представление произвольной формы порождает для этой формы собственную полиполярную систему координат с ортогональной системой координатных кривых.

Фокусная система имеет представление в той же системе координат, что и кривая, и выдерживает вместе с кривой преобразования, сохраняющие ее форму.

Семейство изофокусных лемнискат имеет ту же группу симметрий, что и фокусная система, и не имеет других симметрий.

Сохраняя в сжатом виде информацию о форме кривой, фокусная система наследует и симметрии этой кривой, в отличие, например, от степеней свободы гармонического представления. С другой стороны, и форма лемнискаты, однозначно определяемая своей фокусной системой, описывается фокусными симметриями. Симметрии сохраняются при всех трансформациях софокусных лемнискат, связанных с изменением радиуса, от к несвязных петель до окружности.

Kf-лемниската, удовлетворяя условию постоянства расстояния до kf-системы r = const є Rk, может рассматриваться на плоскости как многофокусный аналог координатной окружности.

На полиполярной плоскости имеет место полный набор групп плоских симметрий, состоящий из преобразований сдвигов, собственных и зеркальных вращений, отражений (со скольжением), инверсий.

Используя разного рода преобразования, такие, например, как преобразования отражения и инверсии, относительно единичной kf-лемнискаты (R = 1), можно строить симметрийные композиции произвольной формы-мотива. Фокусное представление единичной «лемнискаты-окружности» позволяет, управляя фокусами, менять симметрии композиции и формы мотивов. Комбинирование симметрий kf-лемнискат и форм-мотивов порождает большое разнообразие орнаментов, как розеточного типа, так и паркетного, а интерактивное управление фокусами дает возможность «оживить» полученный орнамент в процессе непрерывной трансформации во времени.

Полиполярная лемнискатическая СК позволяет строить также самоподобные, управляемые фокусами, фрактальные структуры.

• открыть в PDF формате