English

Архив публикаций

Тезисы

XVI-ая конференция

Модели стволклеточной терапии

Ершов Ю.А.

Москва 123007, Хорошевское ш., 70-3-30

1  стр. (принято к публикации)

МОДЕЛИ СТВОЛКЛЕТОЧНОЙ ТЕРАПИИ

Ю.А. ЕРШОВ, МГТУ им. Н.Э.Баумана, e-mail: ershov@bmstu.ru

Математические модели играют ключевую роль в развитии клинических систем культивирования стволовых клеток (СК).

Ранее была предложена квазихимическая модель роста популяций [1, 2], основанная на естественных параметрах жизненного цикла различных, в частности клеточных популяций. Эта модель верифицирована на большом экспериментальном материале культивирования клеток различных видов [3- 6] и доказана ее адекватность.

В данной работе на основе квазихимической модели выведена математическая модель роста популяций СК и проведена ее верификация на доступном литературном материале.

Известны два основных пути (вербальная модель), по которым протекает деление (митоз) СК (рис.1).

Рис. 1. Схема деления стволовой клетки. Cst – материнская и дочерняя стволовые клетки,

Cd – терминально дифференцированные клетки, bs, b - коэффициенты скорости деления стволовых и дифференцированных клеток.

1. Деление симметрично: образуются две исходно одинаковые дочерние клетки. Дальнейшее развитие этих двух клеток зависит от последующих условий среды.

2. Деление асимметрично: одна из дочерних клеток наследует свойства стволовой. В этой клетке в момент образования происходят изменения, в результате которых она дифференцируется.

Рис.2. Фазы клеточного цикла; G1 – первая стадия подготовки, S – стадия синтеза, G2 – вторая стадия подготовки, М – стадия митоза, Ga – стадия покоя.

Образовавшиеся при митозе дочерние клетки Cst и Cd проходят свой клеточный цикл (Рис. 2). В результате пул СК остается практически постоянным, а пул дифференцированных дочерних клеток растет, осуществляя регенерацию соответствующей ткани. Клеточный цикл состоит из четырех основных стадий: G1 – 1-й этап подготовки, S – синтез, G2 – 2-й этап подготовки, М – митоз. Кроме того, клетки могут переходить в стадию покоя Ga.

Вербальная квазихимическая модель клеточного цикла, начиная с митоза-деления материнской клетки Cm, может быть представлена схемой в виде цепи последовательных стадий - периодов:

C1->C2->C3->Cm ->fCm или C1->C2->C3->Cm

->Ca (1)

Здесь C1 - молодая клетка непосредственно после деления, С2, С3, Сm - последующие ее фазы развития до митоза, f ? фактор размножения. Фазы C1, C2, C3, Cm представляют соответственно клетки четырех возрастов – стадий G1, S, G2, М (рис. 2). Фазы C1, C2, C3 в совокупности называют интерфазой.

Стадии С1, С2, С3, Сm, Ca – отображают различные состояния популяции, в которых могут находиться особи. Количественно эти состояния оцениваются по численности особей ci в этих состояниях (i=1…a), т.е. по населенности состояний. Объединение населенностей в векторной записи формирует вектор состояния (c1, c2, c3, cm, ca) популяции. Компонентами вектора состояния являются численности особей в каждом из состояний.

В общем виде динамика общей квазихимической модели роста может быть описана системой интегро-дифференциальных или разностных уравнений. Даже в простых случаях аналитические решения таких систем уравнений как правило неизвестны. Однако, основные свойства решений могут быть изучены на редуцированных системах.

Редуцированная система псевдохимических реакций, дающая упрощенное описание развития популяции в виде укороченной цепи (1) из двух стадий - роста (интерфаза) и деления (митоз), дополненных стадией самоингибирования (двухстадийная модель роста) имеет вид:

C1+M1->Cm (p)

Cm+M2->fC1 (b)

C1->Cd (dg)

C1+Cm->Ca+C1 (a) (2)

C1EE (w1)

C1+X1(C·X11) (d11)

C1+X2(C·X12) (d12)

Cm+X1(C·X21) (d21)

Cm+X2(C·X22) (d22)

Здесь: С1- совокупность клеток разных возрастов, находящихся в стадии интерфазы до митоза, Сm - митотические клетки; Ca - клетки в покое (анабиозе); M1, M2 – субстраты, X1, X2 - игибиторы.

В предположении постоянства количеств субстратов М1, М2 кинетика роста популяции, состоящей из особей С1 и Сm, описывается системой из двух дифференциальных уравнений:

dc1/dt=–pxc1+fbcm+w1– d c1 (3)

dcm/dt=pc1–bxcm–ac1cm (3a)

Здесь c1, cm - количества растущих и митотические клеток; a, b, p - кинетические коэффициенты автоингибирования, рождения (разветвления), и роста популяционной цепи. В коэффициенты р и b включены постоянные количества субстратов М1 и М2 , f - коэффициент размножения, w1 определяет приток растущих клеток популяции данного вида из внешнего источника.

Коэффициенты bx и px – функции (в частности линейные) от концентраций x1 и x2 ингибиторов X1 и X2:

px=p+d1, bx=b+d2 (4)

где d1= d11x1+ d12x2, d2= d21x1+d22x2.

В квазистационарном приближении по cm (dcm/d t ≈0) получают одно уравнение:

dc1/dt=pxc1(K1-c1)/(K2+c1)+w1 (5)

Здесь

K1=(fbp-bxpx)/apx, K2=fbx/a (6)

где K1 – предельное количество особей С1 при w1= 0. При x1, x2 и w1, равных нулю, K1= K= fb/a, K2=b/a.

При значениях f № 2 и d1 ,d2 № 0 динамику численности популяции с1(t) нельзя выразить в виде явной функции от времени. Поэтому целесообразно использовать. В общем случае получают обратную функцию t(c1)интегрированием уравнения (5) по с1:

t(c1)=ln((c1/co)((K1–co)/(K1–c1))(1+n))/(n · px) . (7)

График функции (7) описывает рост различных биологических популяций (в том числе клеточных) под действием химических агентов в отсутствии внешних источников.

Квазихимическая модель (2) может быть применена для количественного описания накопления дифференцированных клеток на основе пула СК (процесс, осуществляемый для регенерации пораженных тканей).

Согласно схеме рис. 1, для популяции СК величина w1=0, для популяции дифференцированных клеток w1= w =bs·cs (cs – количество СК, bs – константа скорости образования дочерних клеток из СК). В соответствии с (5) рост популяции дифференцированных клеток описывается уравнением

dc1/dt=pxc1(K1-c1)/(K2+c1)+ w, (8), где w =bs·cs.

Частные решения уравнения (8) при известных из эксперимента параметрах изучаемой клеточной культуры дают теоретическую зависимость роста этой культуры при репарации тканей.

Верификация математической модели (8) на обширном, опубликованном в литературе материале, показывает хорошее согласие с экспериментами.

В качестве примера можно рассмотреть рост культуры мезинхимальных СК, изученный в работах [7, 8]. Мезинхимальные СК обладают способностью к длительной пролиферации в различных тканях.

При w =const, K1 =K2 =K частное решение уравнения (8) имеет вид

t(c1) = -ln(wK+ pK c1+ w c1-p c12)/(2p) -3arctanh((w+pK-2pc1)/sr)K/sr-

- arctanh((w+pK-2pc1)/sr)w/(psr) - (K+co) c1/(Kw+cow+copK-pco2), (9)

где sr = √ 6Kwp+w2+p2K2 .

В таблице приведены данные работы [7] по кинетике мезинхимальных СК человека.

t, час 0 24 48 72 120 144 168

N, число клеток 100 140 240 430 1200 1300 1380

На рис. 3 приведены экспериментальные точки и рассчитанная по уравнению (9) кривая роста мезинхимальных СК. В пределах погрешности теоретическая кривая согласуется с экспериментом.

Рис. 3. Экспериментальные точки и рассчитанная по уравнению (9) кривая роста мезинхимальных СК.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ю.А.Ершов, Теория цепного роста и ингибирования биологических популяций химическими агентами. // Докл.РАН,1997, т.352.N5,1-4.

2. Ю.А.Ершов, Квазихимические модели роста биологических популяций под действием ингибиторов и промоторов. Ж. Физ. Хим., 1998, т. 72, №3с. 553-559.

3. Ершов Ю.А., Есменская Н.Б., Плетенева Т.В. Оценка токсического действия препаратов серебра на культуре Par. caudatum, Хим. фарм. журнал, 1995, N11,с.6-7.

4. Ершов Ю.А., Плетенева Т.В., Слонская Т.К. Количественная оценка биоактивности токсичных агентов. //Бюлл. эксп. биол. мед, 1997, т. 123, N5, с.594.

5. Ершов Ю.А., Т.В. Плетенёва, соавт. Определение параметров роста Par. Caud. для стандартизации биоактивных веществ. Бюлл. эксп. биол. мед, 1999, т.127, №6, 717.

6. Ershov Y.A. Quasi-Chemical Models of the Growth of Cell Population Dynamics. Applied Biochemistry and Microbiology, 1999, v. 35, N 3 pp. 245-251.

7. Merzlikina N.V., Buravkova L.B., Romanov Yu.A. The primary effects of clinorotation on cultured human mesenchymal stem cells. J. Gravit. Physiology, 2004, V. 11(2), p 193-194.

8. Yu.A. Romanov, A.N. Darevskaya, N.V. Merzlikina, Buravkova L.B. Mesenchymal stem cells from human bone marrow and adipose tissue. Cell Technology in Biology and Medicine, 2005, N 3, p. 138-143.



© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533