Архив публикаций

Тезисы

XVI-ая конференция

Оптимальный метод простой итерации со спектром из двух отрезков разных знаков

Сорокин П.Н., Ченцова Н.Н.¹

НИИ системных исследований РАН, Россия, 127486, Москва, ул. Дегунинская, д. 13, кв. 84, телефон: (495) 4874803, E-mail: s_p_n_1974@bk.ru

¹МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический ф-т, каф. Вычислительной математики, Россия, 119296, Москва, Ленинский проспект, д. 69, кв. 258, телефон: (499) 1344468, E-mail: s_p_n_1974@bk.ru

1  стр. (принято к публикации)

Изучаются итерационные методы решения системы линейных уравнений

Ax = b , (1)

где A – вещественная квадратная матрица размерности m m, m – целое, m ≥ 1, x, b – вектора-столбцы из R^m.

Определение 1. Будем говорить, что матрица A удовлетворяет условию (W), если все собственные значения λk(A) матрицы A – вещественные, некратные и принадлежат множеству W = [-t , -s] U [μ , M], 0 < s < t, 0 < μ < M.

Теорема 1. Решение линейной системы (1), если матрица A удовлетворяет условию (W), существует и единственно.

Определение 2. Двухпараметрическим методом простой итерации с параметрами α, β называется метод построения последовательности x^n вектор-столбцов из R^m по формуле:

x^n+1 = (E+αA+βA^2) x^n - (αE+βA)b, (2) где α, β – вещественные числа, отличные от нуля, Е – единичная матрица.

Положим θ(α,β,λ) = 1 + α λ + β λ2, q(α,β) = sup_λЄW |θ(α,β,λ)|.

Теорема 2. Если матрица A удовлетворяет условию (W) и q(α,β) < 1, то двухпара-метрический метод простой итерации сходится к решению линейной системы (1).

Определение 3. Двухпараметрический метод простой итерации (2) c параметрами α_0,β_0 называется оптимальным, если q(α_0,β_0)=inf_α,β q(α,β), α,β≠0 – вещественные числа.

Теорема 3. Если матрица A удовлетворяет условию (W), то оптимальный двухпараметрический метод простой итерации (2) с α_0=(s-μ)β_0, q(α_0,β_0) = 1+β_0sμ < 1сходится к решению системы (1). Параметр β_0 = - 2/(μs+Ms-μM+M2), если t-s ≤ M-μ, иначе β_0 = - 2/(μs+μt-st+t2).

Литература

1. Сорокин П.Н., Ченцова Н.Н. Оптимальный метод простой итерации со спектром из отрицательного числа и положительного отрезка // “Математика. Компьютер. Образование”. Сборник трудов 15-ой международной конференции. Под ред. Г.Ю. Ризниченко, Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2008, том 2, стр. 84-87.

• открыть в PDF формате