|
Архив публикацийТезисыXVI-ая конференцияКраевая задача для квазилинейного параболического уравнения с лапласианом ЛевиУкраина, Киев-04212, а/я 68 1 стр. (принято к публикации)Пусть $\;H\;$ бесконечномерное вещественное гильбертово пространство. Пусть скалярная функция $\;F,\;$ определенная на $\;H,\;$ дважды строго непрерывно дифференцируема в точке $\;x_0.\;$ Тогда лапласиан Леви функции $\;F\;$ в точке $\;x_0\;$ определяется формулой [1] $$ \Delta_LF(x_0)=\lim_{n \to \infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}(F''(x_0)f_k,f_k)_H, $$ где $\;F''(x)$ гессиан функции $\;F(x),\;$ $ \{f_k\}_1^{\infty} $ ортонормированный базис в $\;H.$ Пусть $\;\Omega\;$ открытое множество в гильбертовом пространстве $\;H\;$ и $\; \overline {\Omega}=\Omega \cup \Gamma\;$ множество в $\;H\;$ с границей $\;\Gamma:$ $$\Omega=\{x\in H: 0\le Q(x)\langle R^2\}, \quad \Gamma=\{x\in H:Q(x)=R^2\},$$ где $\;Q(x) - $ дважды непрерывно дифференцируемая функция такая, что $\;\Delta _LQ(x)=\gamma,$ $\gamma\rangle 0 - \;$ положительная константа. Рассматривается задача Коши $$\frac{\partial U(t,x)}{\partial t}=\Delta_LU(t,x)+f_0(U(t,x)), \qquad U(0,x)=U_0(x), (1) $$ где $\;U(t,x) - $ функция на $\;[0, T] \times H; \; f_0(\xi)\;$ функция одной переменной, $\;U_0(x) - $ заданная функция в $H$. Если существует первообразная $\varphi(\xi)=\int \frac {d\xi}{f_0(\xi)},\;$ для которой определена обратная функция $\;\varphi^{-1},$ и существует решение задачи Коши для уравнения теплопроводности $$\frac{\partial V(t,x)}{\partial t}=\Delta_LV(t,x), \quad V(0,x)=U_0(x), $$ то решение $U(t,x)$ задачи Коши (1) имеет вид $$U(t,x)=\varphi^{-1}(t+\varphi(V(t,x))).$$ Литература 1. L'evy P. Sur la generalisation de l'equation de Laplace dans domaine fonctionnelle. C.R.Acad. Sc. 1919. V. 168. P. 752-755. |
