Архив публикаций

Тезисы

XIII-ая конференция

Методы теории измерительно-вычислительных систем в томографии

Чуличков А.И., Муллаяров Д.В., Урбанович А.Ю.

МГУ им. Ломоносова, Россия, 119992, Москва, Ленинские горы, т.9394178, ach@cmp.phys.msu.su

Задача томографии состоит в оценивании функции нескольких переменных по известным ее криволинейным интегралам. Теория, позволяющая априори исследовать предельные возможности оценивания, известна как теория измерительно-вычислительных систем (ИВС). В данной работе используются методы теории ИВС для определения предельной точности оценивания искомой функции f, заданной на ограниченной области D плоскости, по конечному числу измерений ее интегралов по двумерным областям, моделирующих поглощение пучка, распространяющегося вдоль прямых линий, пересекающих область D под углами t. Каждое измерение сопровождается погрешностью с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией; погрешности считаются некоррелированными.

Поскольку использование линейных методов оценивания позволяет, в лучшем случае, оценить лишь конечномерную проекцию функции f на конечномерное подпространство в L2. Если не наделять функцию f никакими априорными свойствами, то это подпространство целиком определяется моделью измерения, отыскание его может оказаться задачей, достаточно трудной в вычислительном плане. Однако сужение класса функций, которому принадлежит f, в ряде случаев позволяет существенно упростить алгоритм. Один из подходов, используемый в работе, основан на теореме Винера-Пэли-Шварца, согласно которой спектр финитной функции f является целой функцией. Метод исследования, примененный в этой части работы, позволяет использовать методы быстрых преобразований Фурье. В другом подходе искомая функция предполагается кусочно-постоянной; он приводит к методам, близким к алгебраическим.

Предложены методы выбора приближенной модели томографического эксперимента. Для первого подхода приближение состоит в ограничении пространственных частот изучаемого изображения, для второго – в ограничении числа значений, принимаемых функцией f. Обе модели позволяют максимально точно оценить восстанавливаемую составляющую изображения и вычислить погрешность этой оценки. Ограничение для полосы частот или число значений f на D выбирается из соображений гарантированной надежности получившейся модели.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 05-01-00221-a.