Архив публикаций

Тезисы

XIII-ая конференция

Универсальный сценарий перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных урапвнений

Сидоров С.В.

Москва, 117570, ул. Красного Маяка, д. 11, корп. 3, кв. 200 тел. 313-29-13

Приводятся результаты исследования сценариев перехода к хаосу для большого класса нелинейных диссипативных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом и дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Указанные виды дифференциальных уравнений используются при моделировании процессов и явлений в самых различных областях - в физике, химии, биологии, экономике т.д.

Рассматривается единый универсальный сценарий перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах, описываемых дифференциальными уравнениями. Показано, что в основе механизма образования хаотических аттракторов в указанных системах лежат фундаментальные результаты Шарковского о сосуществовании циклов одномерных унимодальных отображений, теория Фейгенбаума удвоения периода циклов одномерных унимодальных отображений и теория Магницкого перехода к хаосу в нелинейных неавтономных и автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, которая устанавливает связь субгармонического (в смысле порядка Шарковского) каскада бифуркаций рождения устойчивых циклов с динамикой отображения отрезка в себя.

На многочисленных примерах нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений показано, что существование хаотической динамики не зависит ни от типа особых точек этой системы, ни от наличия петель сепаратрис седло-узлов или седло-фокусов, ни от наличия самих седло-узлов или седло-фокусов. Единственным необходимым условием появления хаотической динамики является наличие в неавтономной системе особой точки типа ротор, а в автономной системе - сингулярного седлового цикла.

В работе показано, что переход к хаосу в диссипативных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения с запаздывающим аргументом и параболические системы нелинейных дифференциальных уравнений, осуществляется по одному сценарию. Началом сценария всегда является каскад бифуркаций Фейгенбаума - каскад бифуркаций удвоения периода устойчивых циклов. За каскадом Фейгенбаума следует субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов всех периодов вплоть до цикла периода три и последующие каскады бифуркаций Фейгенбаума на всех таких циклах. Дальнейшее усложнение сингулярных аттракторов, рождающихся в точках накопления значений бифуркационного параметра, идет через гомоклинический каскад бифуркаций устойчивых циклов, стремящихся к гомоклиническим контурам особых точек. Для систем, имеющих размерность больше трех, в сценарии перехода к хаосу участвуют двумерные торы и весь субгармонический (в смысле порядка Шарковского) каскад бифуркаций двумерных торов как по внутренней так и по внешней частотам.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект 04-01-00225а) и программой ОИТВС РАН (проект 1.12).