English
!

Архив публикаций

Тезисы

XIII-ая конференция

Априорные оценки модуля непрерывности для обобщенных решений различных краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка

Тюлина А. К.

Москва, 121309, ул. Новозаводская, д. 25/11, корп. 7, кв. 29

1  стр.

Во многих прикладных задачах механики и физики возникает необходимость рассматривать обобщенные решения тех или иных краевых задач для уравнений с частными производными эллиптического типа. Например, в теории упругости при изучении трещин возникают краевые задачи так называемого смешанного типа, когда на некоторой части границы области заданы граничные условия Дирихле, а на некоторой другой части границы заданы граничные условия Неймана. Возникает вопрос о гладкости этих решений при приближении к точкам границы, в особенности к тем точкам, в которых происходит «стыковка» различных граничных условий. Известно, что даже в случае гладкой границы для уравнения Лапласа в этих точках терпят разрыв производные первого порядка, причем решение удовлетворяет условию Гельдера.

Один из возможных подходов к изучению поведения обобщенного решения вблизи граничной точки рассматривается на примере эллиптического уравнения второго порядка, когда граница области может иметь весьма общую структуру. На некоторой ее части задано однородное условие Дирихле. На другой части границы задано однородное условие Неймана. Рассматриваемый метод применим как к точкам границы, в окрестности которых находятся только точки первой части , так и к тем, в окрестности которых только точки второй части , либо к таким точкам границы, которые являются точками «стыка» этих двух частей. Именно последняя ситуация соответствует смешанной краевой задаче. Метод заключается в получении оценок обобщенного решения, принадлежащего соболевскому пространству , сначала в весовых интегральных нормах, весом в них является некоторая степень расстояния до изучаемой точки границы. Затем для получения оценок модуля (или разности модуля и константы в случае задачи Неймана) используются теоремы типа Де-Джорджи – Мозера, в которых модуль решения в некоторой области оценивается через интеграл от квадрата решения по некоторой большей области. Полученные оценки модуля непрерывности решения выражают вполне определенную степенную зависимость решения от расстояния до особой точки и позволяют установить гельдеровость решения и оценить показатель Гельдера в окрестности границы. Они являются точными для ряда областей, в частности когда исследуемая точка является вершиной конуса и указанные части границы - конические.

© 2004 Дизайн Лицея Информационных технологий №1533