Архив публикаций

Тезисы

XIII-ая конференция

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ТИПА «РЕАКЦИЯ – ПЕРЕНОС» НА СТАНДАРТНОМ СИМПЛЕКСЕ

Рябова Е.А.

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, радиофизический факультет, кафедра математики. Россия, 603022, г. Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.4, ауд.508. Тел.: (8312)781830, helen@sandy.ru

Системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа («реакция – перенос») используются для математического описания различных процессов и явлений. Такие системы применяются, в частности, при исследовании динамики биологических видов или химических элементов в условиях сильных водных или воздушных потоков, при рассмотрении эволюции популяции с учетом возрастного состава.

Часто физическая постановка задачи требует, чтобы ее решение принимало лишь неотрицательные значения. При этом большое практическое значение имеет случай, когда в каждой точке сумма компонент решения системы равна единице. Таким образом, система дифференциальных уравнений задается относительно функций, областью изменения которых является стандартный симплекс.

Для анализа обобщенных моделей популяционной динамики принято переходить к новым переменным zi, характеризующим относительные численности рассматриваемых групп в популяции, при этом областью изменения новых переменных является стандартный симплекс. Если с течением времени справедливо соотношение zi/zj->0, то i-я группа будет постепенно вытесняться из популяции j-й группой. В качестве значения критерия поведения групп можно взять пределы их относительных численностей или их временные средние. Нередко на практике удобнее в качестве критерия использовать средневременное значение коэффициента воспроизводства.

Если i-я группа популяции обладает возможностью влиять на скорость изменения своей относительной численности, то оптимальным поведением для нее будет то, которое обеспечивает максимум вышеупомянутых пределов. В этом случае i-я группа вытеснит из популяции всех остальных.

Для системы, описывающей изменение структуры популяции, можно поставить задачу оптимального управления на стандартном симплексе при неограниченном времени управления с одним из указанных собственных критериев качества. Данные критерии могут также выражать и цели внешней управляющей системы, в частности, выделение из общего набора конкурирующих групп только одной, интересующей нас по каким-либо причинам. Такая методика построения оптимизационной задачи применима и для распределенной системы типа «реакция – перенос».

Рассматриваются примеры систем, являющихся обобщением системы Лотки – Вольтерра с учётом явления переноса, в случае целенаправленного воздействия на систему. Исследуется предельное поведение системы в зависимости от начальных данных и возможностей управления.