|
Conference publicationsAbstractsXVII conferenceMethod of "Computer analogy" for solving of the systems of nonlinear differential equationsDorodnicyn Computing Centre of RAS, 119333, Russian Federation, Moscow, Vavilova street, 40, tel. 499-135-20-87, email: aristov@ccas.ru 1Moscow State Institute of Radio-engineering Electronics and Automation, 119545, Russian Federation, Moscow, Vernadskii av., 78, gtsy@mail.ru В [1] описан метод «компьютерной аналогии» для построения решения нелинейных дифференциальных уравнений в явном виде и намечен путь для решения систем дифференциальных уравнений. В настоящей работе мы развиваем этот подход, применяя его для решения уравнения не имеющего квадратур (уравнение Ван дер Поля), сводимого к системе нелинейных уравнений, а также для системы уравнений в частных производных. Решение системы из двух уравнений с неизвестными u и v ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной. Для получения решения на следующем слое можно выбрать любую разностную схему, обеспечивающую сходимость к точному решению. Для сходимости к решению задачи на каждом шаге применяются операции переброса разрядов, вследствие чего коэффициенты отрезков ряда представления решения не превышают величину обратную к шагу по независимой переменной, но за счет операций выделения целой и дробной частей возникают стохастические свойства, это позволяет применять вероятностные методы для осреднения значений коэффициентов. В качестве руководящей схемы выбрана разностная схема первого порядка, тогда коэффициенты старших разрядов представляются в виде функций от коэффициентов линеаризации и некоторого случайного возмущения более высокого порядка малости. Если рассматриваемое приближение не обеспечивает указанной точности, в случае с системой Ван дер Поля происходит выход на решение, отличное от точного, но имеющее предельный цикл. На примере простого нелинейного дифференциального уравнения показывается также сходимость метода с учетом вклада от стохастических членов. По теореме Бернштейна удается заменить суммы функций перебросов суммами соответствующих математических ожиданий. Такая замена позволяет перейти к вероятностям перебросов, которые можно достаточно легко вычислить.
Литература 1.Аристов В. В., Строганов А. В. Вероятностные аспекты метода «компьютерной аналогии» для решения дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование, том 1, N 1, 2009, Стр. 21-31. |