Conference publications

Abstracts

XIII conference

The modeling of dynamics for cooperation of busines structures

Shatrov A.V/

610000, Russia, Kirov, Moskovskaya str, 36

Динамика процессов взаимодействия структур рыночной экономики в сфере малого бизнеса подвержена влиянию множества факторов и имеет нелинейный характер. Исследование динамических систем с сильной нелинейностью с математической точки зрения является весьма трудоемкой задачей, требующей индивидуального подхода в каждом конкретном случае. Наиболее исследованными являются автономные динамические системы с одной степенью свободы, то есть одномерные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. В приложениях нелинейной динамики часто используются так называемые базовые модели, которые преследуют одну цель – описать процесс в целом, не вдаваясь в детали. Одной из распространенной моделей является уравнение Ван Дер Поля, описывающее автоколебания в механической системе

(1)

где заданные постоянные, параметр. Переписывая уравнение (1) в виде

получим, что колебания происходят под действием трех сил: консервативная сила, диссипативная сила, активная сила. При этом вторая и третья в сумме составляют силу, которая при малых амплитудах раскачивает систему, а при больших – тормозит. Таким образом, если начальная амплитуда большая, то колебания затухают, а если амплитуда мала, то она со временем возрастает. Это дает основания полагать, что в системе устанавливается режим автоколебаний. На фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует замкнутая кривая, называемая предельным циклом.

Рассмотрим теперь влияние малого параметра при старшей производной в уравнении Ван дер Поля, записывая его в сингулярно возмущенной форме

(2)

Переходя в плоскость Льенара, запишем уравнение (2) в виде нормальной системы, добавив в правую часть второго уравнения системы параметр а

(3)

В системе (3) в очень узком диапазоне значений а обнаруживается нелинейное явление, известное как «французские утки». Экономическая интерпретация его заключается в том, что параметр а задает дополнительное сопротивление, обусловленное неопределенностью внешних условий. При определенных значениях этого параметра наступает бифуркация рождения предельного цикла, которой предшествует «утка» - деформация предельного цикла. В окрестности точки бифуркации система, описывающая на качественном уровне взаимодействие бизнес – структур, крайне чувствительна к возмущениям, что отражает нестабильный характер развития бизнеса.